spadająca mrówka john2: Spadająca mrówka a spadająca mrówka−gigant Powiedzmy, że z jakiejś wysokości upuszczamy zwykłą mrówkę. W mojej książce piszą, że mrówce nic się nie stanie, gdyż będzie ona krótko przyspieszać z uwagi na to, że zwiększający się (wraz ze zwiększającą się prędkością mrówki) opór powietrza szybko zrównoważy siłę ciężkości działającą na leciutką mrówkę. Powiększmy mrówkę (np. stukrotnie) i upuśćmy ją z tej samej wysokości. Ma ona ten sam kształt i w tej samej pozycji będzie spadać, co mała. Pierwsze pytanie: czy czas spadania mrówek będzie taki sam? Drugie pytanie: czy duża mrówka umrze... a właściwie, czy spotka ją dokładnie ten sam los, co małą mrówkę przy lądowaniu. Moje domysły: 1) Z jednej strony trudniej będzie oporowi powietrza zrównoważyć sporo większą siłę ciężkości działającą na mrówkę, więc powinna przyspieszać dłużej niż mrówka mała, a więc duża mrówka będzie spadać krócej. Z drugiej strony, gdyby spadały w próżni, mrówki spadałyby w tym samym czasie, gdyż większą mrówkę (choć ma większy ciężar) charakteryzuje większa niechęć do przyspieszania (bezwładność). 2) Jeśli czas spadania będzie ten sam, to prędkość w chwili uderzenia w ziemię obydwu mrówek chyba będzie ta sama. Ale mrówka nawet w tym przypadku powinna gorzej skończyć, gdyż uderzy w ziemie z większą siłą i doświadczy większej siły reakcji ziemi na m. in. znaczny ciężar mrówki.

daras: Widać, że nie skakałeś nigdy ze spadochronem ale domysły masz dobre Czas spadania dużej mrówki będzie krótszy ! Pamiętaj, że Galileusz zrzucał ciała z niewielkiej wysokości i w dodatku miał prymitywne wzorce do pomiaru czasu więc wyciągnął mylny wniosek o jednakowym czasie spadania różnych ciał z tej samej wysokości. A Ty jaki wniosek wyciągniesz z mojej uwagi ?

daras: Mrówki nikt nie rzuca (spadanie swobodne) więc nie można mówić o sile uderzenia tylko np. o prędkości, pędzie albo lepiej o energii kinetycznej. A to czy przeżyje, to trzeba by sprawdzić doświadczalnie

john2: Zgadza się, nie skakałem. No i teraz nie wiem do końca, jaki wniosek wyciągnąć. Na pewno w próżni kule (czy co on tam upuszczał z tej wieży) spadłyby w tym samym czasie. Na pewno, gdyby je mógł upuścić z samolotu, to kula cięższa przyspieszałaby dłużej niż lżejsza z powodu, o którym pisałem w punkcie 1) i cięższa spadłaby wcześniej. Ale jeśli upuszcza je z niewielkiej wysokości (w tym przypadku chyba obie kule przyspieszają przez całą drogę) cięższa kula przyspiesza "bardziej" ? Wiadomo, że przyspieszenie kul spada wraz ze spadającymi w powietrzu kulami, bo spada siła wypadkowa (F_w = F_{g kuli} − F_{opór powietrza}), od której zależy przyspieszenie. Czyli przyspieszenie cięższej kuli spada wolniej? Nie wiem, czy dobrze myślę.

daras: Widać nie nawykłeś do samodzielnego myślenia Co to znaczy przyspieszałaby dłużej albo przyspieszenie spada wraz ze spadającymi kulami Przyspieszenie ziemskie zależy od odległości od środka Ziemi ale mam nadzieje zakładamy, ze mrówka spada z niedużej wysokości (h<<R_z) więc można przyjąć, ze g = constans. Swobodne spadanie, to ruch pod wpływem siły ciężkości i w próżni tylko ta jedna siła działa. Skoro jednak mamy w ruch powietrzu, to trzeba uwzględnić opór ośrodka, który zależy od rozmiarów spadającego obiektu i aby się dowiedzieć jaka będzie ta stała szybkość należałoby rozwiązać r−nie różniczkowe. W przypadku normalnej mrówki ruch z przyspieszeniem ziemskim zostałby więc wyhamowany (tak jak podczas skoku ze spadochronem) i potem odbywałby się ze stała szybkością. Natomiast w przypadku słonia (czy jak wolisz mrówki−giganta) opór jest znacznie mniejszy i można go nawet pominąć. Ergo przyspieszenie z jakim spada ta większa a ≈ g. Wniosek: skoro ruch tej drugiej jest jednostajnie zm. przyspieszony, to i szybkość jaką osiągnie będzie dużo większa a czas spadania będzie krótszy niż tej pierwszej. A czy przeżyje upadek , to już zapytaj biologów

john2: Nie wiem, czy potrzebna była ta pierwsza uwagą, ale i tak dziękuję za odpowiedź. Moja wiedza jest słaba i pozostaje mi albo pozostać w tym stanie, albo czytać i pytać. "przyspieszałaby dłużej" Mam napisane, że wraz z rosnącą prędkością spadającego ciała, rośnie opór powietrza działający na to ciało. Gdy opór powietrza osiągnie tę samą wartość co ciężar ciała, ciało przestaje przyspieszać i porusza się ruchem jednostajnym. Lekka mrówka ma niewielki ciężar, więc opór w krótkim czasie równoważy niewielki ciężar mrówki. Ciężka mrówka już ma większy ciężar do zrównoważenia i więcej czasu (w trakcie którego prędkość, a więc i opór, będą rosły) jest potrzebna, aby ciężka mrówka przestała przyspieszać. Z tego wniosek wyciągam taki, że lekka mrówka (czy też kula) przestanie przyspieszać wcześniej niż ciężka (o ile ta ciężka w ogóle przestanie, może faktycznie nie). "przyspieszenie spada wraz ze spadającymi kulami" Upuśćmy kulę (bez względu na masę) w powietrzu. Jej prędkość spadania rośnie, opór powietrza rośnie. Kiedy rośnie opór, maleje siła wypadkowa (F_w = F_g − F_op) nadająca ciału przyspieszenie, zgodnie ze wzorem:

	Fw
a =
	m

F_w maleje, więc a też maleje. Przecież chyba ta kula, zanim osiągnie stałą prędkość (nie zakładam, że będzie przyspieszać całą drogę), czy chociażby ta lekka mrówka, nie osiągnie przyspieszenia równego zero nagle, tylko to przyspieszenie będzie spadać stopniowo. Zgadza się, nie biorę pod uwagę tego, że przyspieszenie ziemskie rośnie im bliżej jesteśmy Ziemi. Nie chcę też brać pod uwagę kształtu, czy wielkości ciała, dlatego zrezygnujmy z mrówek i weźmy dwie jednakowe pod względem wielkości i kształtu kule. Jedna ma, powiedzmy masę 1 kg, druga 5 kg. Nie chcę pomijać oporu powietrza. Chciałbym rozpatrzyć dwie sytuacje: 1) Zrzucamy piłki z wysokości, powiedzmy, jednego metra (normalnie w atmosferze). Pytanie, czy spadną w tym samym czasie? Domyślam się, że obydwie kule, ze względu na niską wysokość, będą przyspieszać przez całą drogę (siła oporu powietrza na pewno nie zdąży zrównoważyć ich ciężaru). Pytanie, czy będą przyspieszać tak samo przez tę drogę jednego metra? 2) Zrzućmy piłki z jakiejś dużo większej wysokości (na tyle dużej, aby kule przestały przyspieszać, jeszcze spadając). Bez względu na to, jaka jest odpowiedź w pierwszej sytuacji, wydaje mi się, że prawdziwe jest następujące rozumowanie: Kula lżejsza przyspiesza, przyspiesza coraz wolniej i wolniej, aż przestaje przyspieszać i spada ruchem jednostajnym. To samo robi cięższa kula, przyspiesza, coraz wolniej, ale dalej (mimo że lżejsza już przestała przyspieszać). Później niż kula lżejsza osiąga stałą prędkość. Bezdyskusyjnie spada na ziemię pierwsza kula ciężka. Pytanie, czy gadam bzdury?

daras: Nie gadasz bzdur, bo tym razem przeanalizowałeś, to co Ci wcześniej napisałem i doczytałeś z podręcznika. Napisałem wcześniej, że należałoby rozwiązać r−nie różniczkowe. Wróćmy teraz do niego, mam nadzieję, że rozwiązanie rozwieje resztę wątpliwości. W uproszczeniu problem wygląda następująco: ciało o masie m spada swobodnie (v_o = 0) w ośrodku (powietrze), który stawia opór proporcjonalny do jego prędkości. Zatem siłę oporu mozna zapisac wzorem: F_op = kmv gdzie k−stały współczynnik proporcjonalności, zależny m.in. od kształtu ciała, głównie od powierzchni prostopadłej do wektora prędkości zatem r−nie ruchu podczas spadania będzie miało postać: ma = mg − kmv

	dv
i po uproszczeniu przez masę i zauważamy, że przyspieszenie ciała nie jest stałe a =
	dt

Mamy więc do rozwiązanie r−nie różniczkowe:

dv
	= g − kv ,
dt

które po rozdzieleniu zmiennych:

dv
	= dt całkujemy i dostaniemy rozwiązanie postaci:
g−kv

	g
v(t) =		(1 − e−kt)
	k

a dla dostatecznie długiego czasu spadania ( t→∞) graniczna prędkość jaka się ustali wynosi v_gr = g/k.

daras: odpowiedzi na Twoje pytania: 1. spadną w tym samym czasie to jest właśnie doświadczenie Galileusza , on zrzucał z wysokości ok. 55 m (wysokość wieży w Pizie) i przy tak małej wysokości nie miał szans zauważyć, że czasy spadania są różne oczywiście gdyby badał spadanie kuli i kartki papieru, to różnicę by zauważył, dlaczego 2. dokładnie tak

john2: bo kartka ma mniej opływowy kształt i działa na nią większy opór, dzięki za pomoc