Zadanie z mechaniki, matura, moneta spadająca z pręta Spongelk: Na szczycie jednorodnego metalowego pręta o wysokości l i masie m umieszczono w niewielkim wgłębieniu metalową monetę. W pewnej chwili pręt zaczął się przewracać bez poślizgu. Oblicz kąt odchylenia pręta od pionu, przy którym moneta spadła z pręta. Wnioskuję, że chodzi o to, aby siła odśrodkowa zrównoważyła składową siły ciężkości skierowaną wzdłuż pręta. W tym problem, że absolutnie nie mam pojęcia, jak się do tego wszystkiego zabrać. Wychodzi mi: ^mv2_l = mg cos α cos α = ^v2_gl Domyślam się, że v z momentu zrównoważenia podanych dwóch sił da się jakoś obliczyć, ale nie mam pomysłu. Proszę o jakieś naprowadzenie na prawidłowy tok rozumowania, z góry wielkie dzięki!

MQ: Warunek odpadnięcia, to taki, kiedy cała siła nacisku monety na pręt jest zużyta na siłę dośrodkową:

m2v2
	=m2g cos α, gdzie m2 − masa monety, która zresztą nie jest mi potrzebna, bo się
l

skraca:

v2
	=g cos α
l

Trzeba teraz policzyć zależność v od α Na poziomie liceum można to obliczyć z zasady zachowania energii − dla uproszczenia założę, że m₂<<m, wtedy moge rozpatrywać tylko energię mechaniczną pręta.

	mgl
Ep0 pręta na początku =		, bo środek ciężkości jest w połowie.
	2

	mgl
Kiedy pręt odchyli się o kąt α, jego Ep =		cos α
	2

Pozostała część idzie na obrót wokół punktu podparcia, czyli:

	1		1		v
Eω=		Jω2=		J(		)2
	2		2		l

	1
Moment bezwładności J=		ml2
	3

http://pl.wikipedia.org/wiki/Lista_momentów_bezwładności Czyli mamy: E_p0=E_p+E_ω

mgl		mgl		1		v
	=		cos α+		ml2*(		)2
2		2		3		l

po przekształceniach mamy:

	3
v2=		gl(1−cos α)
	2

wstawiam to do 1. zależności i dostaję warunek na α:

3gl(1−cos α)
	=g cos α
2l

po skróceniu l i g dostajemy:

3(1−cos α)
	=cos α
2

a po przekształceniach:

	3
cos α =
	5

Z kalkulatora: α≈53^o

daras: siły się nie zużywają tylko równoważą, tak jak napisał to Spongelk poza tym zgubiłeś "2" w mianowniku przy energii kinetycznej prawidłowa zależność v(α) powinna wyglądać: v² = 3gl(1 − cosα)

	3
a więc cosα =		= 0,75 i kąt α ≈ 41o 25'
	4

kąt rzędu 53^o już na "chłopski rozum" wydaje się zbyt duży

Spongelk: Serdeczne dzięki, MQ, daras! Odpowiedź 41^o jest poprawna. Ratujecie mi maturę.

MQ: Długo szukałem, gdzie zgubiłem tę 2, ale znalazłem −− tak to jest, jak się liczy w głowie, a nie na papierze. Dobrze, że się komuś chciało to jeszcze sprawdzić.

daras: Nie chciało mi się ale sprawdziłem, bo nie podobał mi się ten duży kąt, który Ci wyszedł